基于动力学模型的2035年中国博士生教育规模讨论[1]

董  渊  王任模  韩芳明  林润亮

摘要：拓展博士生教育链式反应规律模型，建立指导教师规模年度变化方程，给出师生规模动力学模型方程组。探讨方程组的参数、近似求解和稳定性，揭示其临界条件为师生流动均衡、规模协调增长条件为维持合理生师比。数据分析表明，中国博士生教育师生规模流入高于流出，指导教师在岗工作年数均值约22年，2009年以来得到广泛认可的生师比约为4.0±10%，根据参数均值求取“十四五”期间规模近似解，测算显示2025年学位授予超过10万。给出基于方程组相图的规模中长期分析方法，测算2035年中国博士生在学规模为100~160万、指导教师规模为26~45万、招生规模为25~41万，则相应学位授予规模为15~25万，与美国当年授予规模大致相当。建议未来应加强规律研究，进一步全面深化培养模式改革，加强质量保障体系建设，推动中国博士生教育规模质量协调的可持续发展。

关键词：博士生教育；动力学模型；师生规模方程组；教育强国

作者简介：董渊，清华大学数学科学系党委书记，副研究员，dongyuan@mail.tsinghua.edu.cn；王任模，清华大学党委教师工作部副部长，六级职员；韩芳明，清华大学研究生院培养办公室高级主管，六级职员；林润亮，清华大学数学科学系副主任，副教授。

 

一、博士生教育规模研究进展

“博士研究生教育是国民教育的最高层次，是国家创新体系的关键支撑”^[1]，“一流博士生教育体现一流大学人才培养的高度”^[2]，近年来博士生教育发展迅猛^[3]，相关规律研究广受关注^[4]。

对于学位授予规模，常若菲和杨卫提出研究生教育学位产出方程，给出中国学位授予规模40年演化过程的定量模拟^[5]。美国国家教育统计中心（National Center for Education Statistics，NCES）逐年发布博士学位授予数据和基于多元线性回归的定量预测结果^[6]。董渊等基于动力学模型链式反应规律的研究揭示美国学术类博士学位授予规模符合具有周期波动特性的分段指数规律，并给出2021—2030年的定量预测^[7]。赵世奎和沈文钦基于1961—2010年数据^[8]、张炜重点关注2000—2015年数据^[9]，分别对中美博士生教育规模扩张规律和发展趋势进行深入探讨。对于在学规模，别敦荣等人以年均增长率为参考的线性外推方法成功预测了“十三五”期间中国博士生在学规模^[10]。王传毅等人建立招生增长率、完成率和流失率保持稳定条件下的时间序列模型，对美国博士生在学规模进行定量测算^[11]。

“教师是立教之本、兴教之源”^[12]，建设一流指导教师队伍是博士生教育发展的重要内容^[13]。博士生教育动力学模型揭示在学、指导教师等规模数据可以用类似于链式反应的方程描述、符合分段指数变化规律^[14]，董渊等用数值方法给出21世纪初中国博士生教育规模调控过程的定量分析^[15]，基于该方程提出由历史数据估算学位授予率和退出率的规模推演方法，根据规划文本推算招生、指导教师数据，实现了“十四五”期间指导教师、招生、在学和学位授予规模的定量预测^[16]。

基于上述研究，本研究尝试进一步探索能够定量描述和分析博士生在学规模、指导教师规模协调发展的动力学模型，给出规模中长期分析方法并探讨2035年中国博士生教育规模。

二、师生规模方程组及其特性

1.博士生教育的链式反应规律

某一国家或地区在相同经济、科技和教育政策影响范围内，博士生在学规模是以年度为单位的离散时间序列，其近似函数E（t）满足类似于链式反应方程的博士生教育动力学模型方程^[14]：

                     （1）

其中为t年博士生教育（在学规模）成长指数：

          

年度招生比α(t)、年度生师比ρ(t)、年度学位授予率β(t)、年度退出率ε(t)分别定义为：

                 （3）

                     （4）

                  （5）

                  （6）

S(t)为t年指导教师规模， A(t+1)、C(t+1)、Q(t+1)分别为年招生、学位授予和退出规模。

对博士生规模发展链式反应规律的实证研究表明：若μ(t)在10年及以上时段近似为常数，则处于平稳发展阶段，E(t)按指数规律发展^[14]；若μ(t)随时间变化，则E(t)按分段指数规律发展，可采用数值方法进行规模调控分析^[15]和基于历史数据的规模推演^[16]。

由等式（1）、（2）、（4）可得，博士生在学规模年度变化与学位授予、退出和招生规模之间有如下关系：

   （7）

2.指导教师规模年度变化规律

指导教师通常由博士学位获得者担任。学位获得者既是博士生教育的输出结果，又可作为指导教师加入博士生教育，具有承前启后的特殊作用。引入学位授予到指导教师间的反馈，得到从入学、在学到获得学位，再到作为指导教师上岗，直至退出工作岗位各阶段定量关系，描述如图1。

指导教师规模年度变化由当年上岗和退出工作岗位指导教师的规模决定，可表示为：

       （8）

退出工作岗位指导教师的年度变化情况为：

                    （9）

其中指导教师年度退出率γ_s(t)为当年由于退休等原因退出工作岗位指导教师与指导教师规模之比。

上岗指导教师规模表示为：

            （10）

其中指导教师年度上岗比例ζ(t+1)为t+1年上岗指导教师规模与当年学位授予规模之比²，记为：

           （11）

由等式（8）和（4）可知，指导教师规模同样满足类似于链式反应方程的规律：

 

 

图1  博士生教育分阶段规模参数定量关系图

                    （12）

其中μ_s(t)为t年博士生指导教师规模成长指数：

        （13）

在指导教师规模较为稳定时，可以使用指导教师在岗工作年数均值T_s(t)的倒数来近似估算年度退出率^[17]。指导教师上岗、退休年龄均值为t_s(t)、t_R(t)时，退出率可近似为：

      （14）

时，的一阶前向差分格式近似为ΔS(t)=S(t+1)-S(t)，其截断误差为O(Δt²)^[18]。由等式（8）、（10）得：

    （15）

3.师生规模方程组及其矩阵表示

等式（7）和（8）为刻画博士生在学规模、指导教师规模变化规律的变系数常微分方程组，称为师生规模动力学模型方程组（简称师生规模方程组，或E-S方程组），描述博士生入学、在学到获得学位，再到作为指导教师上岗，直至退出工作岗位的规模变化，可作为深入分析和理解博士生教育的基础模型，其矩阵形式为：

                                  （16）

其迹线方程为：

                                  （17）

变系数方程组解的长期特性较为复杂，取决于系数矩阵随时间的变化情况^[19]。对于一段时间内系数变化较为平稳的情况，可采用常数近似方法按常系数方程组进行定量求解^[20]。而对于中长期发展趋势，则可以根据近似参数基于相图进行定性分析^[21]。

4.方程组的近似解及其稳定性、临界条件

若[t_i,t_j]时段内系数变化较为平稳，则根据该时段内参数均值得到近似的常数矩阵

，由求取特征值：

              （18）

其中：

  （19）

                                  （20）

 

求取对应特征向量：ν₁=[E₁,S₁]^T、ν₂=[E₂,S₂]^T ，方程组的解为：

         （21）

根据[t_i,t_j] 时段中值年的数据，由上式可得c₁和c₂的值^[20]。

方程组的临界条件为：

Δ=0                             （22a）

由参数β(t)、ε(t)和γ_s(t)的定义可知τ<0。当Δ>0时，特征值为两个负实数或两个实部为负的复数，有唯一平衡点原点且稳定，对于任意大于零的在学规模、指导教师规模初始值，随着时间推移规模将趋于平衡点。当Δ=0，特征值为一零一负实数τ，平衡点位于过原点的直线。当Δ<0，特征值为一正、一负两实数，唯一平衡点原点为鞍点，系统不稳定，两条渐近线斜率为：k₁=S₁/E₁、k₂=S₂/E₂，对任意大于零的在学规模、指导教师规模初始值，随着时间推移规模将沿着迹线趋近于线并不断增大。

由等式（3）、（5）、（6）、（9）、（10）可得，临界条件的一种等价表示为：

   （22b）

等式（22b）表明师生流出流入规模的乘积关系决定系统特性。年度学位授予、退出规模之和与指导教师退出规模分别为在学规模、指导教师流出规模，招生规模与上岗指导教师规模分别为在学规模、指导教师流入规模。临界条件为在学规模、指导教师流出规模的乘积相当于在学规模、指导教师流入规模的乘积，即师生流动均衡；若流出大于流入，则系统稳定；若流出小于流入，则系统不稳定。

博士生教育的任务是源源不断地培养高层次创新人才，因此系统通常运行于博士生在学规模、指导教师规模不断增大的不稳定状态，对应在学规模、指导教师规模成长指数均为正数。

由等式（17），迹线方程右边分母、分子分别为0时，对应在学、指导教师规模成长指数、，得两条过原点直线，斜率分别为：

             （23）

                （24）

可知博士生在学规模、指导教师规模协调增长的条件为，生师比取值范围为(1/k_s,1/k_E)，考虑在学规模、指导教师规模均为正数，则规模数据点位于E(t)-S(t)方程组相图第一象限中k_E、k_S两线之间。

三、“十四五”期间中国博士生教育规模讨论

经过40多年不懈努力，“中国研究生教育实现了跨越式发展，对经济社会发展发挥了重要的支撑引领作用”^[22]。本节以“十四五”期间中国博士生教育为例，根据2017—2022年数据估算指导教师年度退出率、年度上岗比例等参数，以参数均值求解模型，将2023年及之后的规模作为测试数据，以讨论模型的短期定量描述能力，并基于相图讨论生师比参数的波动趋势；根据2011—2015年数据估算参数均值并测算2025年规模，以探讨模型的中长期分析能力。

1.指导教师年度退出率和上岗比例估算

中国教育统计数据[3]给出历年博士生指导教师规模及年龄分布。其中，图2上和下（左）分别给出2017年、2022年数据，规模分别为9.59万和15.89万。指导教师上岗年龄均值存在且唯一，可根据年龄分布数据，采用迭代方法进行估算。

以2018—2022年为例，假设期间指导教师上岗年龄均值的初始值为t_s0，退休年龄均值以t_R=65岁计，则

由等式（9）可计算2017年在岗指导教师于2018—2022年间退出的人数及年龄分布，并得到5年后2022年仍在岗的人数和分布，绘制如图2下（中）。

计算2022年指导教师和2017年指导教师经过5年之后仍在岗各年龄段数据之间的差值，其中60岁以下的部分，大致给出5年间上岗指导教师的规模及2022年年龄分布，绘制如图2下（右）。进一步可求得5年来指导教师上岗年龄均值。

如果t_S0和t_S1之差符合预期误差范围，将二者的均值作为5年来指导教师上岗年龄均值；否则将二者的均值作为新的上岗年龄均值初始值进行新一轮迭代计算。

 

图2  中国2017年、2022年博士生指导教师年龄分布

迭代求得2018—2022年间博士生指导教师上岗年龄均值为t_S=43.06岁，可知中国博士生指导教师平均在岗工作年数 年，年度退出率 。作为对照，Larson等人2012年测算美国博士生指导教师在岗工作年数为20年^[17]，对应年度退出率为0.05。

由上述中国指导教师年度退出率，根据等式（10）和（15）对统计数据进行分析，得2018—2022年间上岗博士生指导教师规模和年度上岗比例如表1，其中年度上岗比例均值为，表明这些年每年上岗博士生指导教师规模接近于当年学位授予规模的四分之一。

 

表1  2018—2022年中国上岗博士生指导教师规模
和年度上岗比例

 

2.师生规模的短期近似求解

求解2018—2022年间中国博士生教育规模的参数反问题^[15]，结合上述结果得到参数如表2。

表2  2018—2022年中国博士生教育参数均值

 

参数Δ=-0.033<0，可知在学、指导教师规模流出低于流入，系统不稳定。由上述参数均值构造

矩阵，进一步求得λ₁=0.10、ν₁=[1,0.28]^T，λ₂=-0.33、ν₂=[1,-0.15]^T 。根据2020年实际数据得c₁=41.21万、c₂=1.45万。

由等式（21）计算2018—2025年中国博士生在学规模、指导教师规模记为模型E(t)、模型S(t)，保留到千位，与实际统计数据比较如表3。结果显示，2018—2022年在学规模、指导教师规模的均方根误差分别为0.84%、3.61%，表明模型可以较为准确地描述短期规模变化，且对在学规模的测算更为准确。2023年在学规模、指导教师规模的误差分别为1.55%、–0.22%，2024年在学规模、指导教师规模的误差分别为1.44%、2.44%，2025年在学规模的误差为0.58%。由此测算2025年招生规模约18.9万，学位授予规模约11.6万，表明上述模型及求解方法具有良好的短期预测能力。

由表1可知，2022年指导教师比上年增加约2.7万，增幅约20.4%，相应新上岗指导教师约3.3万，为表中历年之最。此前指导教师增长率（年均约7%）长期低于招生规模增长率（年均约10%）、生师比不断上升的趋势^[15]得以扭转。如图2下（左）所示，2022年55—59岁指导教师规模约为3.3万，在所有年龄段中占比最大，超过五分之一。随着时间推移，到2027年这些指导教师将步入60—64岁并逐步退出工作岗位。因此，近年来迫切需要加强高校教师队伍建设^[23]，特别是持续加大博士生指导教师选聘力度，维持规模增长幅度相当甚至高于在学规模增长幅度。

绘制方程组相图第一象限如图3，原点为系统的鞍点、斜率为生师比的倒数。带有箭头的蓝色细实线为迹线，其中大致位于对角线位置的蓝色粗实线为渐近线，斜率0.28，生师比3.6。

表3  2018—2025年中国博士生在学、指导教师规模比较^①[4]

 

 

图3  中国博士生教育相图（含“十四五”期间模型数据）

规模不断增长的生师比区间为1.1—5.6。迹线方程右边分母、分子分别为0时得到点画线线和点线线，参数分别为：斜率0.18，生师比5.6；斜率0.90，生师比1.1。第一象限、线之间迹线箭头均指向右上方，表明从该区域内任意初始数据点出发，随着时间推移，数据点都将沿着所在迹线向着渐近线规模增长的方向移动。可知在相应系统参数情况下，在学规模、指导教师规模不断增长的生师比区间为（1.1，5.6）。图中虚线k_α为均值线，其斜率为k₁和k_E的均值0.23，对应生师比4.4。图中五星标出的历年数据点向着规模不断增大方向发展，大致在k₁线和k_E线附近波动。

2009—2024年生师比范围为4.0±10%。2000年前中国博士生教育规模数据点基本位于k₁渐近线之上，生师比先下降再上升，大致在2.6至3.6之间。2003—2008年间规模数据点位于k_α均值线之下，生师比超过4.4，对应着21世纪初从“积极扩大”到“相对稳定”的调控过程^[14]，当时年度生师比数值不断升高，一度引发了业内对于培养质量风险的担忧，有专家提议要“稳定博士生招生规模、着重提高培养质量”^[24]，其中历史峰值（接近5.00）出现在2005年，调控后逐步降低，大致在4.4至5.0之间。2009年之后规模数据点基本位于k₁渐近线和k_α均值线之间，生师比先下降再上升，大致在3.6至4.4之间。可以认为，在学规模和指导教师规模增长具有交替领先的特点，在学规模由2009年约24万扩张到2024年近70万的15年间，得到广泛认可的生师比范围为4.0±10%。

3.基于相图的规模中长期分析

根据动力学模型，考虑招生、指导教师规模和系统参数变化的影响，提出基于方程组相图的师生规模中长期分析方法，测算可能的规模数据范围。求解某一时段博士生教育规模参数反问题得系统参数均值；根据需求发展情况设定合理的学位授予或招生规模中长期目标；使用动力学模型进行分析，如给定招生规模则求解正问题、如给定学位授予规模则求解输入反问题^[15]，以获取相应规模数据。这里以2011—2015年中国博士生教育规模作为已知数据对2025年规模数据进行分析讨论。

求解2011—2015年间中国博士生教育规模的参数反问题^[15]，综合表2结果得参数如表4。

 

表4  2010—2015年中国博士生教育参数均值

 

由上述参数均值构造矩阵，求取特征值、特征向量并计算规模，得2010—2015年在学、指导教师规模测算结果与实际规模的均方根误差分别为0.92%、1.30%。

根据前文讨论，将2025年规模目标设定为学位授予10万人或招生20万人，根据表4参数，分别以生师比3.6、4.4进行测算，求解模型的正问题和输入反问题，给出2025年中国博士生教育在学、指导教师规模的四个测算结果：奋进目标（Aggressive，A）、挑战目标（Challenging，C）、满意目标（Satisfied，S）和基本目标（Basic，B）如表5。

 

表5  2025年中国博士生教育规模测算结果（万人）

 

2025年规模测算结果。综上，由中长期分析结果可知2025年规模大致位于相图中ACSB四边形范围内，在学规模为54~92万、指导教师规模为12~22万，相应招生规模为12~20万、学位授予规模为10~17万。图3菱形标出求解模型所得短期师生规模结果，可见这些数据点沿着迹线趋近于渐近线向着规模增大方向发展，2025年数据点位于测算范围内。表明基于相图的中长期分析方法可给出大致覆盖短期近似求解结果的规模范围预测，能够给出较为科学、合理和可信的测算结果。综合短期近似求解、基于相图的中长期分析方法结果，考虑系统参数的变化，可以认为“十四五”期间规模数据点大概率会在渐近线附近，不低于均值线的范围内继续波动增长。

四、2035年中国博士生教育规模

党和国家事业发展迫切需要“培养造就大批德才兼备的高层次人才”^[25]，“教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑”^[26]，《中华人民共和国学位法》^[27]的通过实施为博士生教育持续发展提供坚实的制度保障。本节基于前述模型和基于方程组相图的师生规模中长期分析方法，面向2035年建成教育强国目标讨论中国博士生教育规模。

1.2035年中国博士生教育规模建议

研究认为到2035年建成教育强国时，“我国博士生教育的规模与欧盟或美国的博士生教育规模相当”，招生规模应为25~30万人^[28]。美国NCES在2022年发布的预测数据显示，到2032年美国博士学位授予规模约为23万^[29]，由此推算2035年授予规模大概率超过25万。

为此，以“与美国的博士生教育规模相当”为参考，考虑将2035年中国博士生教育规模目标设定为当年学位授予规模25万人，低线目标设定为当年招生规模25万人。根据表2所列2018—2022年中国博士生教育参数均值，仍以生师比3.6、4.4进行测算，初步给出2035年中国博士生教育在学、指导教师规模的四个测算结果：奋进目标、挑战目标、满意目标和基本目标如表6。并在根据参数均值绘制的方程组相图第一象限中分别以A、C、S、B点标明如图4。

 

表6  2035年中国博士生教育规模建议目标（万人）

 

其中奋进目标A，保持招生、指导教师规模协调发展，维持生师比约3.6，超常规布局实现高速增长，以2025年学位授予规模10万计，到2035年学位授予规模实现10年2.5倍的增长，需要更多的资源投入，应该是努力奋斗积极争取的首要目标；挑战目标C，资源有限情况下，推动招生规模优先增长，适度调低指导教师规模增速，生师比增大到约4.4，同样有可能实现学位授予规模10年2.5倍增长，考虑到较高生师比，高校和指导教师将面临巨大压力，因此具有更高挑战性；满意目标S，招生规模保持适度增长，指导教师规模增速略低，生师比增大到约4.4，总体投入较低情况下维持较大的在学规模，学位授予规模实现10年翻番，高校和指导教师同样将面临相当的压力，应该是能够实现且令人满意的目标；基本目标B，保持招生、指导教师规模以适度增速协调发展，生师比约3.6，是较为合理投入情况下易于实现的目标，但学位授予规模较小，实现10年1.5倍增长，很可能将面临高层次创新人才产出规模不能很好地满足社会需求、不能很好地支持国家高质量发展的风险。

 

 

图4  中国博士生教育相图（含面向2035教育强国建设建议数据）